已知函数f（x）=x2-alnx．（1）若a=2e，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Question

已知函数f（x）=x²-alnx．
（1）若a=2e，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

（1）当a=2e时，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．
f′（x）=2x−(2e)/(x)=(2(x+√(e))(x−√(e)))/(x)．
当x∈(0，√(e))时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈(√(e)，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=√(e)时，函数f（x）取得极小值，f(√(e))=e−2e×(1)/(2)=0．无极大值．
（2）f′(x)＝2x−(a)/(x)=(2x2−a)/(x)．
（i）当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）在（0，e）上不可能有两个不同的零点；
（ii）当a＞0时，f′(x)＝

2(x+

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）当a=2e时，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．f′（x）=2x−(2e)/(x)=(2(x+√(e))(x−√(e)))/(x)．
分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调性极值．
（2）f′(x)＝2x−(a)/(x)=(2x2−a)/(x)．对a分类讨论：（i）当a≤0时，即可得出（ii）当a＞0时，利用导数研究其单调性可得：函数f（x）在x＝(√(2a))/(2)处取得极小值即最小值．要使f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，则必须最小值f((√(2a))/(2))＜0．解得a＞2e．从而(√(2a))/(2)＞√(e)＞1，还必须满足：

f(e)＝e2−alne＞0

(√(2a))/(2)＜e

，解得即可．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的零点，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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