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已知函数f(x)=x2-alnx.(1)若a=2e,求f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)

题目详情
已知函数f(x)=x2-alnx.
(1)若a=2e,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=2e时,f(x)=x2-2elnx,(x>0).
f′(x)=2x−
2e
x
=
2(x+
e
)(x−
e
)
x

当x∈(0,
e
)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(
e
,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
∴当x=
e
时,函数f(x)取得极小值,f(
e
)=e−2e×
1
2
=0.无极大值.
(2)f′(x)=2x−
a
x
=
2x2−a
x

(i)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)在(0,e)上不可能有两个不同的零点;
(ii)当a>0时,f′(x)=
2(x+
作业帮用户 2017-11-13
问题解析
(1)当a=2e时,f(x)=x2-2elnx,(x>0).f′(x)=2x−
2e
x
=
2(x+
e
)(x−
e
)
x

分别解出f′(x)<0,f′(x)>0,即可得出函数的单调性极值.
(2)f′(x)=2x−
a
x
=
2x2−a
x
.对a分类讨论:(i)当a≤0时,即可得出(ii)当a>0时,利用导数研究其单调性可得:函数f(x)在x=
2a
2
处取得极小值即最小值.要使f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,则必须最小值f(
2a
2
)<0.解得a>2e.从而
2a
2
e
>1,还必须满足:
f(e)=e2−alne>0
2a
2
<e
,解得即可.
名师点评
本题考点:
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评:
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的零点,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
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