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已知函数f(x)=x2-alnx.(1)若a=2e,求f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
题目详情
已知函数f(x)=x2-alnx.
(1)若a=2e,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
(1)若a=2e,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在(0,e)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=2e时,f(x)=x2-2elnx,(x>0).
f′(x)=2x−
=
.
当x∈(0,
)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(
,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
∴当x=
时,函数f(x)取得极小值,f(
)=e−2e×
=0.无极大值.
(2)f′(x)=2x−
=
.
(i)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)在(0,e)上不可能有两个不同的零点;
(ii)当a>0时,f′(x)=
f′(x)=2x−
2e |
x |
2(x+
| ||||
x |
当x∈(0,
e |
e |
∴当x=
e |
e |
1 |
2 |
(2)f′(x)=2x−
a |
x |
2x2−a |
x |
(i)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)在(0,e)上不可能有两个不同的零点;
(ii)当a>0时,f′(x)=
2(x+
|
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