已知函数f（x）=x+（a∈R），g（x）=lnx，（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方程=x·[f（x）-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值。

Question

已知函数f（x）=x+ （a∈R），g（x）=lnx，
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程 =x·[f（x）-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值。

Answer 1

（1）函数 的定义域为（0，+∞），
∴ ，
①当 ，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当 时，
令 ，
解得 ，
（ⅰ）若 ，

∴ ，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ⅱ）若a＞0，则 ；
，
∴函数F（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）令 ，
令 ，
当 ，
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间 上单调递减，
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为 ，
而函数 ，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为 ，
∴当 时，方程 只有一个根。