已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.

Question

已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，试确定函数 的零点个数，并说明理由.

Answer 1

已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，试确定函数 的零点个数，并说明理由.

（Ⅰ） 的单调减区间为 ；单调增区间为 ；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）求导得， ，因为 ，所以 的解集为 ，即单调递增区间； 的解集为 ，即单调递减区间；（Ⅱ）函数 ，令 ，得 ，显然 是一个零点，记 ，求导得 ，易知 时 递减； 时 递增，故 的最小值 ，又 ，故 ，即 ，所以函数 的零点个数1个.
试题解析：（Ⅰ）因为 ， ，所以 ．
令 ，得 ．当 变化时， 和 的变化情况如下：

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