设P：指数函数，不等式f(x)>1的解集是，Q：函数的定义域为R，若P∧Q为假，P∨Q为真，求实数a的取值范围．

Question

设P：指数函数，不等式f(x)>1的解集是，Q：函数的定义域为R，若P∧Q为假，P∨Q为真，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】根据指数函数的性质，我们可以求出满足条件P的参数a的取值范围，根据对数函数的定义域，及二次函数恒成立问题，我们可以求出满足条件Q的参数a的取值范围，又由P∧Q为假，P∨Q为真，可得P与Q必定一真一假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

∵P中，指数函数f(x)=a^x，不等式f(x)>1的解集是{x|x<0}，
\n由指数函数的性质可得P={a|0<a<}
\n又∵Q中，函数y=lg(ax²-x+a)的定义域为R，即ax²-x+a>0恒成立
\n则
\n解得Q={a|a>}
\n又∵P∧Q为假，P∨Q为真，
\n∴P与Q必定一真一假
\n(1)当P真Q假时，0<a≤
\n(2)当P假Q真时，a≥1
\n综上所述实数a的取值范围为(0，]∪[1，+∞)

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握指数函数的性质，对数函数的性质及二次函数的性质，是解答本题的关键．