证明集合可数的一个原责上的疑问?书上严格定义是该集合要与自然数集有一个双射(显然如果能找到这个双射就太名正言顺不过了),如自然数与整数有一个双射,但是这种定义直观的意思就是

Question

证明集合可数的一个原责上的疑问?书上严格定义是该集合要与自然数集有一个双射(显然如果能找到这个双射就太名正言顺不过了),如自然数与整数有一个双射,但是这种定义直观的意思就是为要证的集合的元素排成一个序列,这些元素可以有一个下标1,2,3,4,5,6…,即可数的,有时候写出那个具体的双射的表达式不简单,但是确是一一列举出来了,可以1,2,3,4一直排号,我们可以说他与自然数有某个双射,这个双射就是上面的“排号”吗?如果不可以的话,那么证明有理数可数的那个方法“将有理数写成分数形式的一个矩阵,斜对角呈s型一直前进“的映射的表达式是什么?

Answer 1

我觉得你理解的很深入啊,就是这样的,数学中很多定义中都涉及“存在”某个对象满足某种性质,要说明存在,第一种方法就是找到一个满足条件的对象,这种方法最直观,但往往不是最简单的,有时甚至无法做到,特别是在证明“不符合”这个定义时,就要证明不存在某个对象满足这种性质,这显然不是我们一句“找不到”就能解决问题的,这就要通过其它途径就证明存在或不存在,而不是实际去找.证明集合可数中,要求找到自然数集到该集合的一个双射,本质上就是对集合内各元素按某种规则进行排序,使得集合中所有元素按这种规则排出来后,每两个元素之间再也没有该集合中的任意元素了.例如有理数可以按大小排序,但是这样排出来的有理数列,任意两个元素之间都存在着有理数,因此这样的排序于证明可数是没有意义的.所以现在证明可数,就由定义中找双射的任务,转变为找排序的新任务了,只要找到了以上所说的排序,就证明了可数,而不用去写出双射的具体表达式了.