设R是集合A={1,2,3,4,5}上的关系,R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}（1）画出R的关系图（2）证明R的等价关系（3）写出R的所有等价关系

Question

设R是集合A={1,2,3,4,5}上的关系,R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}
（1）画出R的关系图
（2）证明R的等价关系
（3）写出R的所有等价关系

Answer 1

⑴ 如图
⑵ ①自反  (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)都在R
    ②对称   关系图没有两个元素之间的“单方向”箭头.都是双方向的.
  ③传递  可以直接逐一验证 例如﹙13﹚﹙31﹚∈R  ﹙11﹚也∈R.等等.
（3）写出R的所有等价关系.是不是打错 应该是 写出A的所有等价关系.
①都含 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)
②没有两个元素之间的“单方向”箭头.都是双方向的.
③如果﹙12﹚﹙23﹚∈R.则﹙13﹚,即1,2,3之间有六个箭头.记成﹛1,2,3﹜∈R
一个三角形 没有其他双方向箭头,这种等价关系C﹙5,3﹚＝10个
例如﹛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹜
一个三角形 正好有其他一个双方向箭头,这种等价关系C﹙5,3﹚＝10个
例如﹛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹙45﹚﹙54﹚﹜
一个点“孤立”这种等价关系C﹙5,1﹚＝5个
例如﹛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹙41﹚﹙14﹚﹙42﹚﹙24﹚﹙43﹚﹙34﹚﹜
没有点“孤立”一个,全部点“孤立”[即﹛﹛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)﹜一个.
另外.没有三角形,一个双方向箭头5个,两个双方向箭头5个[原题R是其中一个]
共有等价关系37个