请问各位教师级人物：我在完全自考,其中国民经济统计里有这么一个公式：样本方差=样本中各标志值与样本平均数的平方和再除以（n-1),我就搞不懂这n-1怎么来的,应该是除以n才对呀?请哪位

Question

请问各位教师级人物：我在完全自考,其中国民经济统计里有这么一个公式：
样本方差=样本中各标志值与样本平均数的平方和再除以（n-1),我就搞不懂这n-1怎么来的,应该是除以n才对呀?请哪位教师级人物给在下一个完美的答案,并且各路牛鬼蛇神请勿打扰,
还有总体方差的无偏差估计量也是平方和除以n-1的,我认为应该是除以n才对呀?这样样本方差才与总体方差相对应啊?我要详细的为什么?各路名师帮帮我这无名小辈吧!

Answer 1

利用样本对总体方差进行估计,S² = (方差和)/n 为有偏估计,S² = (方差和)/(n-1) 为无偏估计；书上对此有清楚的证明和推导,不想多说了.
只想说一下对利用样本均值代替总体数学期望值计算出的样本方差,除以(n-1)的理解.
如果给出了总体的数学期望u,我们用N个数据估算样本方差,除以N,没问题,因为u是 准确的,与实验数据无关,实验数据与u之间的偏差真实地反映了数据的离散程度.
现在,不给总体数学期望u.我们用N个样本的均值X*代替它.因为X*本身也是一个统计量,虽然是u的无偏估,但它毕竟只是个估计,它来源于数据本身,不是独立的,用X* 代替u计算出的样本方差,比实际方差要小.极端情况,如果只有一组数据,我们要不要承认该数据就代表总体数学期望,从而认为方差为0 ?这显然不是除以n能够解释的,如果除以n-1,则成为0/0的不确定值,也就是说这时估计出的总体方差与真实值得偏差可能是任意值,取决于这一组数据本身的偏差.
为什么要除以n-1?我们假设一个容量为n的样本{X1,X2,.Xi,...Xn},样本均值计作X*.
假设总体数学期望为u,总体方差为σ²,下面我们做一下比较.
(1) 用u做方差和,S² = (X1-u)²+(X2-u)²+.+ (Xn-u)²
E(S²) = nσ²
2) 用X* 代替u计算 (S*)² = (X1-X*)² +(X2-X*)²+.+ (Xn-X*)²
= [(X1-u)-(X*-u)]² + [(X2-u)-(X*-u)]² +.+[(Xn-u)-(X*-u)]²
= [(X1-u)²+(X2-u)²+.+ (Xn-u)²]
- 2*[(X1-u)+(X2-u)+.+ (Xn-u)]*(X*-u) + n*(X*-u)²
= [(X1-u)²+(X2-u)²+.+ (Xn-u)²] -2n*(X*-u)² + n*(X*-u)²
= [(X1-u)²+(X2-u)²+.+ (Xn-u)²] - n*(X*-u)²
E[(S*)²] = nσ² - n*(σ² /n) = (n-1)σ²
也就是说n个数据用X*计算出的方差和是(n-1)σ²,之所以不是n倍的总体方差,是因为平均值来自样本数据,本身也是一个统计量,也有自己的方差,用它代替总体数学期望,降低了数使方差和少了一块,即均值本身产生的方差.
因此当用样本均值代替总体数学期望,进行方差估计的时候要除以(n-1).
以上是个人看法,详细的推导可以参考数理统计的课本,希望能对你有所帮助