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设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是一个样本,.X,S2分别为样本均值和样本方差,试证:E[(.XS2)2]=(σ2n+μ2)(+2σ4n-1+σ4)
题目详情
设总体X~N(μ,σ 2),X1,X2,…,Xn是一个样本,
,S2分别为样本均值和样本方差,试证:E[(
S2)2]=(
+μ2)(+
+σ4)
. |
X |
. |
X |
σ2 |
n |
2σ4 |
n-1 |
▼优质解答
答案和解析
证明:∵
,S2分别是正态总体N(μ,σ 2)的容量为n的样本均值和样本方差,
∴
和S2相互独立,∴
2与(S2)2也相互独立,
∴E[(
S2)2]=E(
2)E[(S2)2]
={D(
)+[E(
)2}{D(S2)+E[(S2)2]},*
E(
)=μ,D(
)=
,
由X2分布的性质得:E[
]=n-1,D[
]=2(n-1),
∴E(S2)=σ2,D(S2)=
,
将这些结果代入(*),得:
E[(
S2)2]=(
+μ2)(+
+σ4).
. |
X |
∴
. |
X |
. |
X |
∴E[(
. |
X |
. |
X |
={D(
. |
X |
. |
X |
E(
. |
X |
. |
X |
σ2 |
n |
由X2分布的性质得:E[
(n-1)S2 |
σ2 |
(n-1)S2 |
σ2 |
∴E(S2)=σ2,D(S2)=
2σ2 |
n-1 |
将这些结果代入(*),得:
E[(
. |
X |
σ2 |
n |
2σ4 |
n-1 |
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