设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn是一个样本，.X，S2分别为样本均值和样本方差，试证：E[（.XS2）2]=（σ2n+μ2）（+2σ4n-1+σ4）

Question

设总体X～N（μ，σ ²），X₁，X₂，…，X_n是一个样本，

.

X

，S²分别为样本均值和样本方差，试证：E[（

.

X

S²）²]=（(σ2)/(n)+μ²）（+(2σ4)/(n-1)+σ⁴）

Answer 1

证明：∵

.

X

，S²分别是正态总体N（μ，σ ²）的容量为n的样本均值和样本方差，
∴

.

X

和S²相互独立，∴

.

X

2与（S²）²也相互独立，
∴E[（

.

X

S²）²]=E（

.

X

2）E[（S²）²]
={D（

.

X

）+[E（

.

X

）²}{D（S²）+E[（S²）²]}，*
E（

.

X

）=μ，D（

.

X

）=(σ2)/(n)，
由X²分布的性质得：E[((n-1)S2)/(σ2)]=n-1，D[((n-1)S2)/(σ2)]=2（n-1），
∴E（S²）=σ²，D（S²）=(2σ2)/(n-1)，
将这些结果代入（*），得：
E[（

.

X

S²）²]=（(σ2)/(n)+μ²）（+(2σ4)/(n-1)+σ⁴）．