为什么样本方差要除以n求解答

Question

为什么样本方差要除以n求解答

Answer 1

使用样本来无偏估计总体方差的时候,公式如下：
,而不是n呢?这直觉上不太对.其实,如果分母为n
如果一个估计量是无偏的,那么它的期望就等于真实值.
看到一些书上和网上的资料,有不同的角度.现在按照从感性角度到理性角度的顺序对它们进行整理：
角度一 生活实例
样本的容量小于整体,所以有较小的可能性抽中一些极端的数据.比如找来一堆人做样本来测量身高,那么样本中出现巨人的可能性是很小的,这样得到的结果可能就会比实际小.为了弥补这点不足,就把分母变得小一些,这样就更能反应实际数据了.
质疑：这个解释其实不太合理.因为既然可能抽不到高个子,也同样可能抽不到矮个子,所以,分母既然可以变得小一些,也就应该有同样的理由变得大一些.我认为这个角度并不能说明问题.
角度二自由度自由度指的是等式中能够自由取值的变量的个数,如果有n个数能够自由取值,那么自由度就为n.
在公式①中,Xi有n个可取的值,所以Xi的自由度为n
,但是,它接着还减去了
,而代表了样本中第1到第n个数值的平均值.那么,其实相当于增加了一个限制条件,原来的自由度要减去1
,得n-1.(可以这样理解,如果自由度仍为n
,那么n个数可以随意取值的情况下,是不能得到一个确定的均值的.或者说,一堆数,如果知道了均值,那么其实只需要知道另外的n-1个数,这堆数中的每个数都确定了)角度三 公式推导
参考高教《概率论与数理统计》第168页.
首先,
这是对公式本身的化简.现在,求S2的期望其中,
μ和σ分别是总体X的均值和方差.
并且,倒数第二步,两次运用了下面这个方差的性质：D(X)=E(X2)-[E(X)]2
角度4 依然公式推导
依然是公式推导,过程有小区别.在这里有详细描述.
其中,原文中谈到
后紧跟着的公式那里,我一开始没有看懂,请教老师后发现.过程是这样的：