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平行四边形定:两对角线的平方和=四条边的平方和,有这种定理吗?如果有,请写出证法.（再举例题并附答案可加分）
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平行四边形定:两对角线的平方和=四条边的平方和,有这种定理吗?
如果有,请写出证法.（再举例题并附答案可加分）
如果有,请写出证法.（再举例题并附答案可加分）
▼优质解答
答案和解析
设平行四边形ABCD,对角线AC,BD
在三角形ABC中,由余弦定理有
AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²
同理,在三角形ABD中
AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²
两式相加得,并注意到BC=AD
2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²
因为A与B互补,所以cosA+cosB=0
所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²
在三角形ABC中,由余弦定理有
AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²
同理,在三角形ABD中
AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²
两式相加得,并注意到BC=AD
2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²
因为A与B互补,所以cosA+cosB=0
所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²
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