（1）①证明两角和的余弦定理C（α+β）=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，②由C（α+β）推导两角差的正弦公式S（α-β）=sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．（2）已知α，β都是锐角，cosα=45，sin（α+β

Question

（1）①证明两角和的余弦定理C_（α+β）=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，②由C_（α+β）推导两角差的正弦公式S_（α-β）=sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．
（2）已知α，β都是锐角，cosα=(4)/(5)，sin（α+β）=(5)/(13)，求sinβ．

Answer 1

（1）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，
并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，
交⊙O于点P₁，终边交⊙O于P₂；角β的始边为OP₂，
终边交⊙O于P₃；角-β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）P₃（cos（α+β），sin（α+β）），
P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得cos（(π)/(2)-α）=sinα，sin（(π)/(2)-α）=cosα，
sin（α-β）=cos[(π)/(2)-（α-β）]=cos[（(π)/(2)-α）+β]=cos（(π)/(2)-α）cosβ-sin（(π)/(2)-α）sinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ；
（2）∵α是锐角，cosα=(4)/(5)，∴sinα=(3)/(5)，
∵α，β是锐角，∴π＞α+β＞α＞0，sin（α+β）=(5)/(13)＜sinα，∴α+β∈（(π)/(2)，π），
∴cos（α+β）=-(12)/(13)
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=(5)/(13)×(4)/(5)-（-(12)/(13)）×(3)/(5)=(56)/(65)．