在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC=c•cosB，c=7，a=8．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC=c•cosB，c=7，a=8．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵（2a-b）cosC=c•cosB，
∴（2sinA-sinB）cosC=sinAcosB，
即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sin（B+C），
∴2sinAcosC=sinA，
∵sinA≠0，∴cosC=(1)/(2)，
∵C为三角形内角，
∴C=(π)/(3)；
（Ⅱ）∵a=8，c=7，cosC=(1)/(2)，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即49=64+b²-2×8bcos60°，
整理得：b²-8b+15=0，
解得：b=3或b=5，
∴当b=5时，S_△ABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×8×5×(√(3))/(2)=10√(3)；
当b=3时，或S_△ABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×8×3×(√(3))/(2)=6√(3)．