如图2－1－5点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点PM⊥BB1交AA1于点MPN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证:CC1⊥MN;(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=D

Question

如图2－1－5 点 P 为斜三棱柱 ABC — A ₁ B ₁ C ₁ 的侧棱 BB ₁ 上一点 PM ⊥ BB ₁ 交 AA ₁ 于点M PN ⊥ BB ₁ 交 CC ₁ 于点 N .

(1)求证: CC ₁ ⊥M N ;

(2)在任意△ DEF 中有余弦定理: DE ² = DF ² + EF ² -2 DF · EF cos∠ DFE .拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 并予以证明.

            图2-1-5

Answer 1

分析:考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高 由已知条件可得△ PMN 为三棱柱的直截面 选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.

(1)证明:∵ PM ⊥ BB ₁ PN ⊥ BB ₁ 

∴ BB ₁ ⊥平面 PMN .

∴ BB ₁ ⊥ MN .又 CC ₁ ∥ BB ₁ 

∴ CC ₁ ⊥ MN .

(2)解:在斜三棱柱 ABC — A ₁ B ₁ C ₁ 中 有

S = S + S -2 S · S cos α .

其中 α 为平面 CC ₁ B ₁ B 与平面 CC ₁ A ₁ A 所成的二面角.

∵ CC ₁ ⊥平面 PMN 

∴上述的二面角的平面角为∠ MNP .

在△ PMN 中 

PM ² = PN ² + MN ² -2 PN · MN cos∠ MNP PM ² · CC ₁ ² = PN ² · CC ₁ ² + MN ² · CC ₁ ² -2( PN · CC ₁ )·( MN · CC ₁ )cos∠ MNP .

由于 S = PN · CC ₁ S = MN · CC ₁ S = PM · BB ₁ = PM · CC ₁ 

∴有 S = S + S -2 S · S cos α .