正余弦定理运用一题在等边三角形ABC中，AB=a，O为等边三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，则1/OM^2+1/ON^2是否有最值？若有最值，则求1/OM^2+1/ON^2的最大值和最小值

Question

正余弦定理运用一题在等边三角形ABC中，AB=a，O为等边三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，则1/OM^2 + 1/ON^2是否有最值？若有最值，则求1/OM^2 + 1/ON^2 的最大值和最小值

Answer 1

设角AMO=x，则角ANO=（120-x），正弦定理AO/sinAMO=OM/sinMAO,AO/sinANO=ON/sinNAO 角MAO=角NAO=30，1/(OM)^2+1/(ON)^=（sinx的平方+sin（120-x）的平方）*1/2AO AO=根号3/3a是定值，求导得x=60,为极值，x范围（30,90），算出最大值根号3/4a 最小值 5乘根号3/16a