余弦定理证明:三角形ABC中,AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)即证明三角形中线定理.M为BC边中点。

Question

余弦定理证明:三角形ABC中,AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
即证明三角形中线定理.
M为BC边中点。

Answer 1

设∠AMB=θ,则∠AMC=π-θ.
在三角形AMB中,应用余弦定理得：
AB²=AM²+BM²+2AM•BM•cosθ……①
在三角形AMC中,应用余弦定理得：
AC²=AM²+MC²+2AM•MC•cos(π-θ)
因M为BC边中点,BM=MC,上式可化为：
AC²=AM²+BM²+2AM•BM•(-cosθ)……②
①②两式相加得 AB²+ AC²= 2(AM²+BM²).