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在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.(Ⅰ)用余弦定理证明:当∠C为钝角时,a2+b2<c2;(Ⅱ)当钝角△ABC的三边a,b,c是三个连续整数时,求△ABC外接圆的半径.
题目详情
在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.
(Ⅰ)用余弦定理证明:当∠C为钝角时,a2+b2<c2;
(Ⅱ)当钝角△ABC的三边a,b,c是三个连续整数时,求△ABC外接圆的半径.
(Ⅰ)用余弦定理证明:当∠C为钝角时,a2+b2<c2;
(Ⅱ)当钝角△ABC的三边a,b,c是三个连续整数时,求△ABC外接圆的半径.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当∠C为钝角时,cosC<0,(2分)
由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab•cosC>a2+b2,(5分)
即:a2+b2<c2.(6分)
(Ⅱ)设△ABC的三边分别为n-1,n,n+1(n≥2,n∈Z),
∵△ABC是钝角三角形,不妨设∠C为钝角,
由(Ⅰ)得(n-1)2+n2<(n+1)2⇒n2-4n<0⇒0<n<4,(9分)
∵n≥2,n∈Z,∴n=2,n=3,
当n=2时,不能构成三角形,舍去,
当n=3时,△ABC三边长分别为2,3,4,(11分)
cosC=
=−
⇒sinC=
,(13分)
△ABC外接圆的半径R=
=
=
.(14分)
由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab•cosC>a2+b2,(5分)
即:a2+b2<c2.(6分)
(Ⅱ)设△ABC的三边分别为n-1,n,n+1(n≥2,n∈Z),
∵△ABC是钝角三角形,不妨设∠C为钝角,
由(Ⅰ)得(n-1)2+n2<(n+1)2⇒n2-4n<0⇒0<n<4,(9分)
∵n≥2,n∈Z,∴n=2,n=3,
当n=2时,不能构成三角形,舍去,
当n=3时,△ABC三边长分别为2,3,4,(11分)
cosC=
22+32−42 |
2×2×3 |
1 |
4 |
| ||
4 |
△ABC外接圆的半径R=
c |
2sinC |
4 | ||||
2×
|
8
| ||
15 |
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