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怎样用复数证明余弦定理呢
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怎样用复数证明余弦定理呢
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余弦定理的复数证法
![](https://www.zaojiaoba.cn/full/9999e84ea18dda8f18f55d82fd2daa92a707454f.jpg)
证明:如下图,在复平面内作△ABC,则 =a(cosB+i sinB),= =b[cos(-A)+i sin(-A)]=,这里C'是平行四边形ACBC'的顶点,根据复数加法的几何意义可知
=+=+
所以c=a(cosB+i sinB)+b[cos(-A)+i sin(-A)]
=(acosB+bcosA)+(asinB-bsinA)i. (*)
根据复数相等的定义,
有asinB-bsinA=0,
即.
对(*)式两边取模,得
c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2
=a2+b2+2abcos(B+A)
=a2+b2-2abcosC
其他各式同理可证.
![](https://www.zaojiaoba.cn/full/9999e84ea18dda8f18f55d82fd2daa92a707454f.jpg)
证明:如下图,在复平面内作△ABC,则 =a(cosB+i sinB),= =b[cos(-A)+i sin(-A)]=,这里C'是平行四边形ACBC'的顶点,根据复数加法的几何意义可知
=+=+
所以c=a(cosB+i sinB)+b[cos(-A)+i sin(-A)]
=(acosB+bcosA)+(asinB-bsinA)i. (*)
根据复数相等的定义,
有asinB-bsinA=0,
即.
对(*)式两边取模,得
c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2
=a2+b2+2abcos(B+A)
=a2+b2-2abcosC
其他各式同理可证.
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