怎样用复数证明余弦定理呢

Question

怎样用复数证明余弦定理呢

Answer 1

余弦定理的复数证法



证明：如下图,在复平面内作△ABC,则  =a（cosB+i sinB）,= =b[cos（－A）+i sin（－A）]＝,这里C'是平行四边形ACBC'的顶点,根据复数加法的几何意义可知
＝＋＝＋
所以c=a（cosB+i sinB）+b[cos（－A）+i sin（－A）]
=（acosB+bcosA）+（asinB－bsinA）i.　　（*）
根据复数相等的定义,
有asinB－bsinA=0,
即.
对（*）式两边取模,得
c2=（acosB+bcosA）2＋（asinB－bsinA）2
=a2+b2+2abcos（B+A）
=a2+b2－2abcosC
其他各式同理可证.