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试用坐标法证明余弦定理.
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试用坐标法证明余弦定理.
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答案和解析
答案:解析: 探究:第一步:建立坐标系(不妨设ABC三点为逆时针方向) 以A为坐标原点,AB为x轴建立坐标系.则A(0,0),B(c,0). 第二步:用三角形的元素来表示各点的坐标 易得A(0,0),B(c,0).下面我们来确定C点的坐标,为此我们过点C作CD⊥x轴于D,我们对角A分锐角、直角、钝角三种情况来讨论,座标图如所示: 当∠A为锐角时,则点C(x,y)在第一象限内 x=AD=|bcosA|=bcosA,y=DC=|bsinA|=bsinA. 所以点C的坐标为C(bcosA,bsinA); 当∠A为直角时,则点C(x,y)在y轴正半轴上C(0,b) 也可以表示成C(bcosA,bsinA); 当∠A为钝角时,则点C(x,y)在第二象限内. |x|=AD=|bcos(π-A)|=|bcosA|=-bcosA ∴x=bcosA,而y=DC=|bsinA|=bsinA 所以点C的坐标为C(bcosA,bsinA). 故无论∠A为锐角、直角、钝角,点C的坐标都为C(bcosA,bsinA). 第三步:利用两点间距离公式建立等量关系 a2=CB2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =c2-2bccosA+b2cos2A+b2sin2A =c2-2bccosA+b2(cos2+sin2A) =c2-2bccosA+b2 同理:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC完成证明. 探究小结:坐标法是将几何问题转化为代数计算的重要手段,通过建立平面直角坐标系,将图形中的点线关系的几何问题转换成对其坐标的代数运算处理.
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