试用坐标法证明余弦定理．

Question

试用坐标法证明余弦定理．

Answer 1

答案：解析： 　　探究：第一步：建立坐标系(不妨设ABC三点为逆时针方向) 　　以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系．则A(0，0)，B(c，0)． 　　第二步：用三角形的元素来表示各点的坐标 　　易得A(0，0)，B(c，0)．下面我们来确定C点的坐标，为此我们过点C作CD⊥x轴于D，我们对角A分锐角、直角、钝角三种情况来讨论，座标图如所示： 　　当∠A为锐角时，则点C(x，y)在第一象限内 　　x＝AD＝|bcosA|＝bcosA，y＝DC＝|bsinA|＝bsinA． 　　所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)； 　　当∠A为直角时，则点C(x，y)在y轴正半轴上C(0，b) 　　也可以表示成C(bcosA，bsinA)； 　　当∠A为钝角时，则点C(x，y)在第二象限内． 　　|x|＝AD＝|bcos(π－A)|＝|bcosA|＝－bcosA 　　∴x＝bcosA，而y＝DC＝|bsinA|＝bsinA 　　所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)． 　　故无论∠A为锐角、直角、钝角，点C的坐标都为C(bcosA，bsinA)． 　　第三步：利用两点间距离公式建立等量关系 　　a2＝CB2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2 　　＝c2－2bccosA＋b2cos2A＋b2sin2A 　　＝c2－2bccosA＋b2(cos2＋sin2A) 　　＝c2－2bccosA＋b2 　　同理：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC完成证明． 　　探究小结：坐标法是将几何问题转化为代数计算的重要手段，通过建立平面直角坐标系，将图形中的点线关系的几何问题转换成对其坐标的代数运算处理．