如图，一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与点B之间，点P是此直线外一点，设∠APC=α，∠BPC=β．求证：sin(α+β)PC=sinαPB+sinβPA．

Question

如图，一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与点B之间，点P是此直线外一点，设∠APC=α，∠BPC=β．求证：(sin(α+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA)．

Answer 1

证明：过点C作CE∥PA，交PB于点E，则∠PCE=α，∠PEC=π-（α+β），
则在△PCE中，由正弦定理得：(sin∠PEC)/(PC)=(sin∠PCE)/(PE)=(sin∠BPC)/(CE)，
即(sin[π-(α+β)])/(PC)=(sinα)/(PE)=(sinβ)/(CE)，
∴(sin(α+β))/(PC)=(PA•sinα)/(PA•PE)=(PB•sinβ)/(PB•CE)，
利用比例性质，有：(sin(α+β))/(PC)=(PAsinα+PBsinβ)/(PA•PE+PB•CE)，
∵CE∥PA，
∴CE：PA=BE：PB，
∴PA•PE+PB•CE=PA•PE+PA•BE=PA•（PE+BE）=PA•PB，
则(sin(α+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA)．