正弦定理、余弦定理1.△ABC的三边分别为m,n,√(m^2+mn+n^2),找出最大边,并求证.2.求证：在△ABC中,a^2+b^2+c^2=2(bccosA+accosB+abcosC).3.在△ABC中,如果sinA=2sinBcosC,求证：△ABC是等腰三角形.太省略过程我

Question

正弦定理、余弦定理
1.△ABC的三边分别为m,n,√(m^2+mn+n^2 ),找出最大边,并求证.
2.求证：在△ABC中,a^2+b^2+c^2=2(bccosA+accosB+abcosC).
3.在△ABC中,如果sinA=2sinBcosC,求证：△ABC是等腰三角形.
太省略过程我怕我看不懂,所以就麻烦你写的详细一点咯!

Answer 1

1.△ABC的三边分别为m,n,√(m^2+mn+n^2 ),找出最大边,并求证.
最大边是√(m^2+mn+n^2 ).证明如下：
√(m^2+mn+n^2 )＞√(m^2+n^2 )＞√(m^2)=m,
同样√(m^2+mn+n^2 )＞√(n^2 )＝n.
所以√(m^2+mn+n^2 )是最大边.

2.求证：在△ABC中,a^2+b^2+c^2=2(bccosA+accosB+abcosC).
证明：由余弦定理,有
a^2=b^2+c^2-2bccosA,
b^2=c^2+a^2-2cacosA,
c^2=a^2+b^2-2abcosA,
以上三式相加,得
a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2bccosA-2cacosA-2abcosA.
所以：2(a^2+b^2+c^2)＝2bccosA+2cacosA+2abcosA.
即a^2+b^2+c^2＝bccosA+cacosA+abcosA.

3.在△ABC中,如果sinA=2sinBcosC,求证：△ABC是等腰三角形.
证明：A=180°-(B+C),所以sinA=sin(B+C).
∴sinA=2sinBcosC
→sin(B+C)=2sinBcosC
→sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
→cosBsinC=sinBcosC
→sinBcosC-cosBsinC＝0
→sin(B-C)=0
→B-C=0
→B=C.
所以：△ABC是等腰三角形.