三角函数与一元二次方程结合的题已知a.b.c.是△ABC的对边,关于a(1-x)^2+2bx+c(1+x^2)=0,有两个相等的实根,且3c=a+3b.求（1）判断△ABC的形状（2）求sinA+sinB的值

Question

三角函数与一元二次方程结合的题
已知a.b.c.是△ABC的对边,关于a(1-x)^2+2bx+c(1+x^2)=0,有两个相等的实根,且3c=a+3b.求（1）判断△ABC的形状 （2）求sinA+sinB的值

Answer 1

题目应该是：
已知a.b.c.是△ABC的三边,关于a(1-x^2）+2bx+c(1+x^2)=0,有两个相等的实根,且3c=a+3b.求（1）判断△ABC的形状 （2）求sinA+sinB的值
将a(1-x^2）+2bx+c(1+x^2)=0变为(c-a)x^2+2(b-a)x+a+c=0
因为方程有两个相等的实根,所以
(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0
整理得b^2+a^2-c^2=0,即a^2+b^2=c^2
所以三角形ABC是直角三角形,角C=90度
又因为3c=a+3b,所以a=3c-3b,代入a^2+b^2=c^2得
（3c-3b）^2+b^2=c^2
整理得4c^2-9bc+5b^2=0
所以4c=5b或c=b(不合,舍去）
b=4/5c
代入a=3c-3b,得a=3/5c
所以sinA+sinB=3/5c/c+4/5c/c=3/5+4/5=7/5