高数.一个充满气体的气球突然破了一个孔,漏气的速率正比于气球内气体的质量（比例系数为k>0).若气球内原有气体100g,一分钟后气球内还剩20g气体,问什么时候气球内仅1g气体?

Question

高数.
一个充满气体的气球突然破了一个孔,漏气的速率正比于气球内气体的质量（比例系数为k>0).若气球内原有气体100g,一分钟后气球内还剩20g气体,问什么时候气球内仅1g气体?

Answer 1

设气体重量为m,那么气体重量变化的速度就是dm/dt.
由于漏气的速率正比于气球内气体的质量,所以dm/dt=-km（因为漏气的话质量减轻所以有负号）.解这个微分方程得m=C*e^(kt).
当t=0s时,m=100g,代入上式知C=100g.当t=60s时,m=20g,代入上式可求得k,然后我们就能知道m的完整数值表达式.令m=1g,这时t就是要求的时间,两边取对数即可求出t.