如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，连接OP．（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y=(k)/(x)（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，连接OP．
（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）如图2，若∠AOB=60°，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若PC=(1)/(2)OE，并且△OPC的面积为(3√(3))/(2)，求OE的长．
（3）在（2）的条件下，过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，点M是直线PQ上的一个动点，若△OEM是以OE为直角边的直角三角形，则点M的坐标为

（-(4)/(3)，1）或（(8√(6)−4)/(3)，1）

（-(4)/(3)，1）或（(8√(6)−4)/(3)，1）

．

Answer 1

（1）过点P作PD⊥OB于点D，
∵点B的坐标为（5，0），
△OPB的面积为 (5)/(2)，
∴(1)/(2)×5PD=(5)/(2)，解得PD=1，
设直线AB的解析式为
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b＝4

5a+b＝0

，解得

a＝−2

b＝10

，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10，
当y=1时，-2x+10=1，解得x=(9)/(2)，
∴P（ (9)/(2)，1），
∵点P的反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）上，
∴1=(k)/((9)/(2))，解得k=(9)/(2)，
∴反比例函数的解析式为：y=(9)/(2x)；

（2）∵点A的坐标为（3，4），
∴OA=√(32+42)=5，
∵△OPC的面积为 (3)/(2)√(3)，
∴(1)/(2)OC×1=(3)/(2)√(3)，解得OC=3√(3)，
∴BC=5-3√(3)，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴(PC)/(OA)=(BC)/(OB)，即 (PC)/(5)=(5−3√(3))/(5)，解得PC=5-3√(3)，
∵PC=(1)/(2)OE，
∴OE=10-6√(3)．

（3）∵点A的坐标为（3，4），
∴直线OA为：y=(4)/(3)x，
∵反比例函数的解析式为：y=(9)/(2x)；
∴E（(3√(6))/(4)，√(6)），
当∠EOM=90°时，直线OM为：y=-(3)/(4)x，
∵P（ (9)/(2)，1），
∴1=-(3)/(4)x，解得x=-(4)/(3)，
∴M（-(4)/(3)，1），
当∠OEM=90°时，直线EM为：y=-(3)/(4)x+b，
∵E（(3√(6))/(4)，√(6)），
∴√(6)=-(3)/(4)×(3√(6))/(4)+b，解得：b=2√(6)，
∴直线EM为y=-(3)/(4)x+2√(6)，
∵P（ (9)/(2)，1），
∴1=-(3)/(4)x+2√(6)，解得：x=(8√(6)−4)/(3)，
∴M（(8√(6)−4)/(3)，1）
∴M的坐标为（-(4)/(3)，1）或（(8√(6)−4)/(3)，1）；