求平行于平面6X+Y+6Z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程

Question

求平行于平面6X+Y+6Z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程

Answer 1

因为空间平面平行：法向量N=（6；1；6）
设：6（X-X0）+（Y-y0）+6（Z-z0）=0；
跟坐标轴的交点（a；0；0）（0；b；0）；（0；0；c）；
根据截距式：X/a+y/b+Z/c=1；
而体积为一个单位：1/3*abc=1；
因此：abc=3；（式子一）
根据向量处理：向量ab=（-a；b；0）；向量ac=（-a；0；c）
因此：N=abXac=bci+abk+acj；
因此：ac=6；ab=1；（式子二）
联立可得：a=2；b=1/2；c=3；
因此：6（X-0）+（Y-0）+6（Z-3）=0；
解得：6X+y+6Z-18=0；
因此所求的平面方程：6X+y+6Z-18=0.