1.证明：如果整系数二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.2.用反证法证明：根号2是一个无理数.（说明：任何一个有理数均可表示成b/a的形式,且a,b互质）

Question

1.证明：如果整系数二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.
2.用反证法证明：根号2是一个无理数.（说明：任何一个有理数均可表示成b/a的形式,且a,b互质）

Answer 1

假设a、b、c全为奇数△=b2-4ac＞=0有：
x= -b±√b²-4ac/2a,
可见存在有理根,即设 √b²4ac为有理数n,
∴b²-4ac=n²,
（b-n）（b+n）=4ac,
∵若n为偶数,（b-n）（b+n）=奇数×奇数=奇数≠4ac,
∴n只能为奇数,b-n为偶数b+n为偶数,
（b-n）（b+n）=偶数×偶数=2a×2c （a＜=c）,
b-n=2a,b+n=2c,
解得：b=a+c,
此时b=奇数+奇数=偶数 与原假设矛盾,
原假设不成立．
∴如果整系数二次方程ax2+bx+c=0存在有理根,那么a、b、c至少有一个是偶数得证明．
.证明：若根号2=p/q（p、q是互质的正整数）
∴（根号2）²=（p/q）²
2=p²/q²
p²=2q²
则p是偶数,设p=2p1
2q²=（2p1）²
2q²=4p1²
q²=2p1²
则q也是偶数
故p、q不互质,矛盾
∴根号2≠p/q
∴根号2是无理数