一般的一个一元三次方程,在不存在有理根的情况下,如何求出它的无理根和他的一对共轭虚根?一般方法.

Question

一般的一个一元三次方程,在不存在有理根的情况下,如何求出它的无理根和他的一对共轭虚根?一般方法.

Answer 1

就是卡丹公式：
将最高项系数化为1后为：x³+ax²+bx+c=0
令x=y-a/3,方程化为：y³+py+q=0
P=b-a²/3,q=c-ab/3+2a³/27
令y=u+v代入,得：u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u³+v³+q+(u+v)(3uv+p)=0
如果令：u³+v³+q=0,3uv+p=0,并求出u,v则可得y=u+v为解.
u³+v³=-q
uv=-p/3,u³v³=(-p/3) ³=-p³/27
u³,v³为二次方程:z²+qz-p³/27=0的解.
得u³,v³ =z=(-q±√D)/2,其中 D=q²+4p³/27
所以u,v为：z1,z2= 3√z.
令 ω=(-1+i√3)/2,得y的三个解为：
y1=z1+z2
y2=ωz1+ω2z2
y3=ω2z1+ωz2
从而得：
x1=y1-a/3
x2=y2-a/3
x3=y3-a/3