高次复数方程1.为什么方程i^3=1的解是1,（√3i-1）/2和（-√3i-1）/2.2.解复数方程（i+1）^n+i^n=0（n是正整数）,并证明是每个根的实数部分都是-1/2.自学中,求高手赐教,

Question

高次复数方程
1.为什么 方程i^3=1的解是1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
2.解复数方程（i+1）^n+i^n=0（n是正整数）,并证明是每个根的实数部分都是-1/2.
自学中,求高手赐教,

Answer 1

1) 是指x^3=1的三个解吧?可以直接用公式解得：
因为1=cos0+isin0=e^i0
它的3次方根为e^i(2kπ)/3,k=0,1,2
即为1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
也可以直接用因式分x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
得：x-1=0,或x^2+x+1=0
同样得x=1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
2) (x+1)^n+x^n=0
化为：(x+1)^n=-x^n
(1+1/x)^n=-1
(1+1/x)^n=e^iπ
开n次方,得：1+1/x=e^i(2k+1)π/n,k=0,1,..n-1
得：x=1/[1-e^i(2k+1)π/n],k=0,1,..,n-1.
=1/[1-cos(2k+1)π/n-isin(2k+1)π/n]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[(1-cos(2k+1)π/n)^2+(sin(2k+1)π/n)^2]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[2-2cos(2k+1)π/n ]
=1/2+isin(2k+1)π/n/[2-2cos(2k+1)π/n]
因此每个根的实部都为1/2