anan+1是方程x^2-bnX+(1/3)^n的两个根,则无穷数列bn的各项之和为

Question

an an+1是方程x^2-bnX+(1/3)^n的两个根,则无穷数列bn的各项之和为

Answer 1

由题知,n=1时,a1,a2为方程x^2-b1x+1/3=0的两个根,
将a1=2代入方程可得：b1=13/6;
将b1代入可得方程为：x^2-13/6*x+1/3=0,即6*x^2-13x+2=0
解方程得出a2=1/6；
令n=2,则有a2为方程x^2-b2x+1/9=0的根,代入即得：b2=5/6
由此可以得出,等比数列的公比为：q=b2/b1=5/13
依据等比数列公式有：S(n)=b1*(1-q^n)/(1-q)
当n无穷大时,S(n)=b1/(1-q)=13/6/(1-5/13)=169/48,即为所求.