数列n的平方分之一加到n属于正无穷,为嘛不会增长到无限大?而是接近一定值?

Question

数列n的平方分之一加到n属于正无穷,为嘛不会增长到无限大?而是接近一定值?

Answer 1

对于调和级数,由x>ln(x+1),取x=1/n,累加,可以证明有1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),所以n趋向于正无穷时,
1+1/2+...+1/n是发散的,即n趋向于正无穷时,1+1/2+...+1/n也是趋向于正无穷的.
但对于1+1/2^2+1/2^3+...+1/n^2,当n趋向于正无穷时,1+1/2^2+1/2^3+...+1/n^2却是收敛的,它的极限为(π^2)/6,它的极限可以用傅里叶级数算得.
为什么收敛呢?有个简单的证明方法可以帮您理解,
1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2 < 1+1/(1*2)+1/(2*3) +1/(3*4)+.+ 1/[(n-1)n]
=1+1-1/2 +1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n