为什么“设数列｛xn｝,当n越来越大时,|xn-a|越来越接近于零,则n趋于无穷时xn趋向于a”这句话是错的?

Question

为什么“设数列｛xn｝,当n越来越大时,|xn-a|越来越接近于零,则n趋于无穷时xn趋向于a”这句话是错的?

Answer 1

lim n→∞ Xn=a 所要求的是 |Xn-a| 可以变得任意小,小于任意给定的正数,而陈述 ”|Xn-a|越来越接近于零“ 并不包含 ” |Xn-a| 可以变得任意小“ 这一层含义,好比说对于 a=0,Xn = 1+1/n ,我们也可以说 |Xn-a| = 1+1/n 越来越接近于零,但是它并不能任意小（比如让它小于一就做不到）,所以此时lim n→∞ Xn=a并不成立.