n是一个正整数，不定方程2x+2y+z=n恰有28组正整数解，求n所有可能取值

Question

n是一个正整数，不定方程2x+2y+z=n恰有28组正整数解，求n所有可能取值

Answer 1

设x+y的最大值为m, 则满足x+y=m的解有m-1个, 分别是x=1,y=m-1; x=2,y=m-2,....x=m-1,y=1
同理,满足x+y=m-1的解有m-2个
x+y最小值为2, 即x=1,y=1,此时只有一个解
那么从x+y=2到x+y=m的所有解便是2x+2y+z=n的所有解
设2x+2y+z=n解的组数Sn
Sn=1+2+......+m-1
2Sn=1+m-1+2+m-2+......m-1+1=m(m-1)
m(m-1)=2×28=56
m=8
由2x+2y+z=n 得x+y=(n-z)/2, 当x+y取最大值时, z必取最小值, 若n为偶数,则z=2, 若n为奇数,则z=1
由此 n=2×8+1=17 或 n=2×8+2=18