用初等变换判定下列矩阵是否可逆,如可逆,求其逆矩阵1-1-1-1,11-1-1,111-1,1111答案是-1/2001/2,-1/21/200,0-1/21/20,00-1/21/2,

Question

用初等变换判定下列矩阵是否可逆,如可逆,求其逆矩阵1-1-1-1,11-1-1,111-1,1111
答案是-1/2 0 0 1/2,-1/2 1/2 0 0,0 -1/2 1/2 0,0 0 -1/2 1/2,

Answer 1

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
1 -1 -1 -1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 1 1 -1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1 第4行减去第3行,第3行减去第2行,第2行减去第1行
～
1 -1 -1 -1 1 0 0 0
0 2 0 0 -1 1 0 0
0 0 2 0 0 -1 1 0
0 0 0 2 0 0 -1 1 第2,3,4行都除以2
～
1 -1 -1 -1 1 0 0 0
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 0 1 0 0 -1/2 1/2 0
0 0 0 1 0 0 -1/2 1/2 第1行分别加上第2行,第3行和第4行
～
1 0 0 0 1/2 0 0 1/2
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 0 1 0 0 -1/2 1/2 0
0 0 0 1 0 0 -1/2 1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1),
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1/2 0 0 1/2
-1/2 1/2 0 0
0 -1/2 1/2 0
0 0 -1/2 1/2