求解公式的具体推算过程1^2+2^2+3^2+4^2+…………n^2的Sn每一步的过程,步骤要清晰.一步一步为什么写清楚,好的有追加.

Question

求解公式的具体推算过程
1^2+2^2+3^2+4^2+…………n^2
的Sn
每一步的过程,步骤要清晰.
一步一步为什么写清楚,好的有追加.

Answer 1

证明:1^2+ 2^2+ 3^2+ 4^2+ 5^2+...+ n＾2＝1/6n(n+1)(2n+1)
由立方差公式得：n^3 -(n-1)^3=3n^2 -3n+1
3n^2 =n^3-(n-1)^3 +3n-1
3(n-1)^2=(n-1)^3 -(n-2)^3 +3(n-1)-1
...
3*2^2=2^3-1^3 +3*2 -1
3*1^2=1^3-0^3+3*1-1
所以各式相加得：
3*[1^2+ 2^2+ 3^2+ 4^2+ 5^2+...+ n＾2]＝n^3+3(1+2+...+n)-n
所以1^2+ 2^2+ 3^2+ 4^2+ 5^2+...+ n＾2＝1/6 *n(n+1)(2n+1)