解微分方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=1/(x+1)

Question

解微分方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=1/(x+1)

Answer 1

该微分方程是欧拉方程.
令 x=e^t, 则 dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)(dy/dt)
d^2y/dx^2=(-1/x^2)(dy/dt)+(1/x)(d^2y/dt^2)(dt/dx)
=(-1/x^2)(dy/dt)+(1/x^2)(d^2y/dt^2), 则原微分方程变为
d^2y/dt^2-dy/dt+4dy/dt)+2y=1/(1+e^t), 即
d^2y/dt^2+3dy/dt)+2y=1/(1+e^t)
特征方程 r^2+3r+2=0, r=-1, -2
齐次方程的通解是 y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)
设特解形式为 ?

请核题目非齐次项是否 1/x+1 ? 此处应有误 !