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初等数论证明不定方程x2+y2+z2=x2y2没有正解
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初等数论
证明不定方程x2+y2+z2=x2y2 没有正解
证明不定方程x2+y2+z2=x2y2 没有正解
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答案和解析
无穷递降法,不妨设x,y,z是正整数解中的一组.因式分解变形为z^2+1=(x^2-1)(y^2-1)由于平方数mod4只能余0,1,用枚举法可知x^2,y^2,z^2mod4余0,故x,y,z必都为2的倍数,设X=2x`,y=2y`,z=2z`,化简得x`^2+y`^2+z`^2=4x`^2y`^2 ,左面为4的倍数,故只能x`^2,y`^2,z`^2mod4余0,再按上述步骤,可无限进行下去,从而有矛盾.
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