二元一次不定方程的整数解一般怎样来解?希望能说的详细一点o(∩∩)o...

Question

二元一次不定方程的整数解一般怎样来解?
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Answer 1

求解二元一次不定方程一般利用下面定义定理分成以下步骤求整数.
第一步：判断是否有解.(用定理1)
第二步：找出方程一组特解(x0,y0).一般对于系数较小时可试根得到.如果系数较大,可用辗转相除法来求.
第三步：写出不定方程通解式.(用定理二).
例1.求3x+21y=118的整数解.
由于3与21的最大公约数(3,21)=3,而118不能被3整除,故方程无整数解.
例2.求3x+21y=117的正整数解.
去除x,y系数的最大公约数：x+7y=39
因x系数为1较小,试根,显然x=39,y=0是一组解(特解).
因此,方程的通解为：x=39-7t,y=t.
要使解为正整数,t只能取为1,2,3,4,5.代入后就能得到相应的5组解.
例3.求119x-38y=887的整数解.
因系数较大,用辗转相除法求解.
(119,38)=(38*3+5,38)=(5,38)=1,故方程有整数解.
方程变形为：5x+38(3x-y)=887=38*23+13;5x+38(3x-y-23)=13.
若令x1=x,y1=3x-y-23,那么上面方程变为：5x1+38y1=13
又38=5*7+3,13=5*2+3,将方程变形为：5(x1+7y1-2)+3y1=3
再令x2=x1+7y1-2,y2=y1,则5x2+3y2=3.
这个方程系数已很小,容易观察或试根得：x2=0,y2=1是一个特解,往回代得,x1=-5,y1=1,进而x=-5,y=-39.
最后写出通解式：x=38t-5,y=119t-39,t为任意整数.