用定义证明数列的极限用定义证明limn^2/3^n=0(n->正无穷）分子是n平方分母是3的n次方!

Question

用定义证明数列的极限
用定义证明 lim n^2/3^n =0(n->正无穷） 分子是n平方 分母是 3的n次方!

Answer 1

证明：
关键在于缩放.
用定义证明既是需要证,对任意小的正数ε,一定存在某个正整数M,使得n＞M时,有
|n²/3^n - 0| ＜ ε
记 an=n²/3^n,则有
a(n+1)/an
= [(n+1)²/3^(n+1)] / [n²/3^n]
= (n+1)²/3n²
令 a(n+1)/an ＜ 1/2
有 (n+1)² ＜ 3n² ,得 n ≥ 5
∴ 当 n≥5时 ,an ≤ a5 · (1/2)^(n-5)
∴ 当n＞M时,
|n²/3^n - 0| ＜ ε
n²/3^n ＜ ε