设集合S={x|x=1k，k∈N*}．（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，12）；（3）设正整

Question

设集合S={x|x=(1)/(k)，k∈N^*}．
（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；
（2）若无穷递减等比数列{a_n}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，(1)/(2)）；
（3）设正整数n>1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥(1)/(64)，求证：n≤15．

Answer 1

（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S={(1)/(3)，(1)/(4)，(1)/(6)，(1)/(12)}
（2）由题意，数列{a_n}是无穷递减等比数列，q是有理数，设q=(b)/(a)，（a，b互质），
∴a•((b)/(a))k为S中的数（k∈N^*），则b必为1；
∴q=(1)/(a)，（a∈N⁺），
∴q∈（0，(1)/(2)]；
（3）证明：在（0，(1)/(8)）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥(1)/(64)，
∴在（0，(1)/(8)）∪S中的元素个数不超过((1)/(8))/((1)/(64))=8．最多有7个数．
在（(1)/(8)，1）∪S中，满足条件有1，(1)/(2)，(1)/(3)，…(1)/(8)，最多8个数，
∴7+8≤15，即n≤15．得证．