已知无穷等比数列{an}的首项为1，公比为q，它的前n项和为Sn，且Tn=SnSn+2，求limn→∞Tn．

Question

已知无穷等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n，且T_n=(Sn)/(Sn+2)，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

当q=1时，S_n=n，S_n+2=n+2，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

(n)/(n+2)＝

lim

n→∞

(1)/(1+(2)/(n))＝1；
当q≠1时，Sn＝(1−qn)/(1−q)，Sn+2＝(1−qn+2)/(1−q)，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

((1−qn)/(1−q))/((1−qn+2)/(1−q))＝

lim

n→∞

(1−qn)/(1−qn+2)=

lim

n→∞

((1)/(qn)−1)/((1)/(qn)−q2)．
当|q|＜1时，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

((1−qn)/(1−q))/((1−qn+2)/(1−q))＝

lim

n→∞

(1−qn)/(1−qn+2)=1；
当q=-1时，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

((1−qn)/(1−q))/(作业帮用户2017-11-01问题解析分q=1和q≠1求出Sn和Sn+2，对于q≠1时再分q=-1、|q|＜1、|q|＞1分类求得数列极限．名师点评本题考点：数列的极限；等比数列的前n项和．考点点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)