已知数列{xn}有极限limxn=a（n~无穷）,如果在该数列中任意去掉1000项,则余下的数列仍以a为极限.求问为什么正确,最好有证明.

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已知数列{xn}有极限limxn=a（n~无穷）,如果在该数列中任意去掉1000项,则余下的数列仍以a为极限.
求问为什么正确,最好有证明.

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答案和解析

用柯西判定定理
数列{xn}有极限,存在N,使n＞N时,有|xn-a|n
因为数列{xn}有极限,所以xn必然有界,由博尔扎诺-外尔斯塔拉斯定理可知xn可选出一个收敛子列,从而设去掉k项的数列为x'n,且为原数列一个子列
根据柯西判定定理,存在N,使m,n＞N时
x'n中仍然可以找出任意两项am与an使|am-an|

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