（2014•宿迁模拟）已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．（1）若q=13，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任

Question

（2014•宿迁模拟）已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{a_n}的首项a₁=1．
（1）若q=(1)/(3)，在a₁与a₂之间插入k个数b₁，b₂，…，b_k，使得a₁，b₁，b₂，…，b_k，a₂，a₃成等差数列，求这k个数；
（2）对于任意给定的正整数m，在a₁，a₂，a₃的a₁与a₂和a₂与a₃之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）当且仅当q取何值时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c₁的所有可能值的集合及{c_n}的通项公式（用q表示）．

Answer 1

（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，(1)/(3)，(1)/(9)成等差数列，
所以公差d=-(2)/(9)，k=2，
所以这2个数为：b₁=(7)/(9)，b₂=(5)/(9)；                                            …（2分）
（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+2项为a₂=q²，
所以(q−1)/(k+1)=(q2−q)/(m−k+1)，q≠1，
所以q=(m−k+1)/(k+1)，且 k≠(m)/(2)；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=(m−k+1)/(k+1)，k∈N，k≤m且k≠(m)/(2)}；…（6分）
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件；      …（8分）
（ii） 若在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{b_n}，则对于任意的k∈N^*，都有(ak+1−ak)/(ck+1)＝(ak+2−ak+1)/(ck+1+1)，
即(qk−qk−1)/(ck+1)=(qk+1−qk)/(ck+1+1)，q≠1且q≠0，
所以q=(ck+1+1)/(ck+1)，c_k+1，c_k∈N，
所以q为正有理数，{a_n}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=(t)/(p)，其中p，t∈N^*，p与t互质，且p≥2，
等差数列{b_n}的公差为d=<

作业帮用户 2016-12-06

问题解析

（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，

(1)/(3)，(1)/(9)成等差数列，求出公差d=-(2)/(9)，k=2，即可求这2个数；
（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+2项为a₂=q²，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．

名师点评

本题考点：

数列的应用．

考点点评：

本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决．

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