已知数列{An}满足A1=a,A(n+1)=1+1/An,我们知道当a取不同的值时高考数列问题求解已知数列{An}满足A1=a,A(n+1)=1+1/An,我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列：1,2,3/2,5/3...;当a

Question

已知数列{An}满足A1=a,A(n+1)=1+1/An,我们知道当a取不同的值时
高考数列问题求解已知数列{An}满足A1=a,A(n+1)=1+1/An,我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列：1,2,3/2,5/3...;当a=-0.5时,得到有穷数列：-0.5,-1,0.(1)求当a为何值时,A4=0 (2)设数列{Bn}满足B1=-1,B(n+1)=1/(Bn -1) (n是自然数),求证a取数列{Bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{An} (3)若3/2小于An小于2（n大于等于4）,求a的取值范围

Answer 1

此题是数列和不等式的的综合应用题,前2问简单,第3问要能想到利用不等式放缩思想来做1)因为a1=a,a(n+1)=1+1/an 所以a2=1+1/a1=1+1/a=(a+1)/a,a3=1+1/a2=(2a+1)/(a+1), a4=1+1/a3=(3a+2)/(2a+1).故当a=-2/3时,a4=0. (2)因为b1=-1,b(n+1)=1/(bn-1),所以bn=1/b(n+1)+1. a取数列{bn}中的任一个数不妨设a=bn. 所以a2=1+1/a1=1+1/bn=b(n-1) 所以a3=1+1/a2=1+1/b(n-1)=b(n-2) 所以an=1+1/a(n-1)=1+1/b2=b1=-1. 所以a(n+1)=0. 故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一有穷数列{an}. (3)要使3/23/2 (3a+2)/(2a+1)-1/2, a>0 或 a0.