（2013?北京）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn．（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3

Question

（2013?北京）已知{a _n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A _n ，第n项之后各项a _n+1 ，a _n+2 …的最小值记为B _n ，d _n =A _n -B _n ．
（Ⅰ）若{a _n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N ^* ，a _n+4 =a _n ），写出d ₁ ，d ₂ ，d ₃ ，d ₄ 的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d _n =-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a _n }是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a ₁ =2，d _n =1（n=1，2，3，…），则{a _n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

Answer 1

分析：
（Ⅰ）根据条件以及d _n =A _n -B _n 的定义，直接求得d ₁ ，d ₂ ，d ₃ ，d ₄ 的值．
（Ⅱ）设d是非负整数，若{a _n }是公差为d的等差数列，则a _n =a ₁ +（n-1）d，从而证得d _n =A _n -B _n =-d，
（n=1，2，3，4…）．若d _n =A _n -B _n =-d，（n=1，2，3，4…）．可得{a _n }是一个不减的数列，
求得d _n =A _n -B _n =-d，即 a _n+1 -a _n =d，即{a _n }是公差为d的等差数列，命题得证．
（Ⅲ）若a ₁ =2，d _n =1（n=1，2，3，…），则{a _n }的项不能等于零，再用反证法得到{a _n }的项不能超过2，
从而证得命题．

（Ⅰ）若{a _n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d ₁ =A ₁ -B ₁ =2-1=1，
d ₂ =A ₂ -B ₂ =2-1=1，d ₃ =A ₃ -B ₃ =4-1=3，d ₄ =A ₄ -B ₄ =4-1=3．
（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a _n }是公差为d的等差数列，则a _n =a ₁ +（n-1）d，
∴A _n =a _n =a ₁ +（n-1）d，B _n =a _n+1 =a ₁ +nd，∴d _n =A _n -B _n =-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 d _n =A _n -B _n =-d，（n=1，2，3，4…）．假设a _k 是第一个使a _k -a _k-1 ＜0的项，
则d _k =A _k -B _k =a _k-1 -B _k ≥a _k-1 -a _k ＞0，这与d _n =-d≤0相矛盾，故{a _n }是一个不减的数列．
∴d _n =A _n -B _n =a _n -a _n+1 =-d，即 a _n+1 -a _n =d，故{a _n }是公差为d的等差数列．
（Ⅲ）证明：若a ₁ =2，d _n =1（n=1，2，3，…），首先，{a _n }的项不能等于零，否则d ₁ =2-0=2，矛盾．
而且还能得到{a _n }的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设{a _n }的项中，有超过2的，设a _m 是第一个大于2的项，由于{a _n }的项中一定有1，否则与d ₁ =1矛盾．
当n≥m时，a _n ≥2，否则与d _m =1矛盾．
因此，存在最大的i在2到m-1之间，使a _i =1，此时，d _i =A _i -B _i =2-B _i ≤2-2=0，矛盾．
综上，{a _n }的项不能超过2，故{a _n }的项只能是1或者2．
下面用反证法证明{a _n }的项中，有无穷多项为1．
若a _k 是最后一个1，则a _k 是后边的各项的最小值都等于2，故d _k =A _k -B _k =2-2=0，矛盾，
故{a _n }的项中，有无穷多项为1．
综上可得，{a _n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

点评：
本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，
属于中档题．