课本知识用配方法解方程、切线的性质定理、扇形面积公式．尝试探究：代数式2x2+4x=2（x2+2x）=2（x2+2x+1-1）=2（x+1）2-2，则当x=时，该代数式有最小值，最小值为；实际应用某玩

Question

【课本知识】用配方法解方程、切线的性质定理、扇形面积公式．
尝试探究：代数式2x²+4x=2（x²+2x）=2（x²+2x+1-1）=2（x+1）²-2，则当x=___时，该代数式有最小值，最小值为___；
【实际应用】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在 O₁和扇形O₂CD中， O₁与O₂C、O₂D分别相切于A、B两点，∠CO₂D=60°，直线O₁O₂与 O₁、扇形O₂CD分别交于E、F两点，EF=24cm，设 O₁的半径为x cm．

（1）用含x的式子表示扇形O₂CD的半径为___cm；
（2）若 O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm²和0.06元/cm²，当 O₁的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？最小成本为多少？

Answer 1

尝试探究：代数式2x²+4x=2（x²+2x）=2（x²+2x+1-1）=2（x+1）²-2，
则当x=-1时，该代数式有最小值，最小值为：-2；
故答案为：-1，-2．
【实际应用】（1）连接O₁A．
∵ O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，
∴∠AO₂O₁=(1)/(2)∠CO₂D=30°，
∴在Rt△O₁AO₂中，O₁O₂=2AO₁=2x．
∴FO₂=EF-EO₁-O₁O₂=24-3x，即扇形O₂CD的半径为（24-3x）cm．
故答案为：（24-3x）；
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx²+0.06×((360-60)π×(24-3x)2)/(360)
=0.9πx²-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）²+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当 O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．