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如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若
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如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b219ebc4b74543a9ef68417f1d178a82b9011415.jpg)
(1)证明:BD⊥AA1;
(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b219ebc4b74543a9ef68417f1d178a82b9011415.jpg)
(1)证明:BD⊥AA1;
(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连BD,
∵面ABCD为菱形,∴BD⊥AC
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面AA1C1C,
又因为AA1⊂平面AA1C1C,
所以BD⊥AA1
(2)连AB1,B1C,由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知:AB1∥DC1,AD∥B1C,AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,
所以由面面平行的判定定理知:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)存在这样的点P,
因为A1B1∥AB∥DC,
所以四边形A1B1CD为平行四边形.
所以A1D∥B1C,
在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,
因为B1B∥CC1,
所以BB1∥CP,
所以四边形BB1CP为平行四边形,即BP∥B1C,
所以BP∥A1D,
所以BP∥平面DA1C1,
所以在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1.
∵面ABCD为菱形,∴BD⊥AC
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面AA1C1C,
又因为AA1⊂平面AA1C1C,
所以BD⊥AA1
(2)连AB1,B1C,由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知:AB1∥DC1,AD∥B1C,AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,
所以由面面平行的判定定理知:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)存在这样的点P,
因为A1B1∥AB∥DC,
所以四边形A1B1CD为平行四边形.
所以A1D∥B1C,
在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,
因为B1B∥CC1,
所以BB1∥CP,
所以四边形BB1CP为平行四边形,即BP∥B1C,
所以BP∥A1D,
所以BP∥平面DA1C1,
所以在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1.
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