在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2

Question

在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，BD²=AB²+AD²，又CD=AB，AD=BC，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²=2（AB²+BC²）．
小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC²+BD²=2（AB²+BC²）；
（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
（3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）

Answer 1

（1）如图2，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA²+OB²=AB²，
∴AC²+BD²=4OA²+4OB²=4（OA²+OB²）=4AB²，
又∵AB=BC，
∴AC²+BD²=2（AB²+AB²）=2（AB²+BC²）．

（2）小亮的猜想成立．
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又AE²+BE²=AB²，
故AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD．
∵BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
由（2）的结论，得
AE²+BC²=2（AB²+AC²），
即（2AD）²+a²=2（b²+c²），
解得AD²=(1)/(4)(2b2+2c2−a2)，
故AD=(1)/(2)√(2b2+2c2−a2)．