已知，如图矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．（1）求证：BE=BF．（2）求△ABE的面积．（3）求折痕EF的长．

Question

已知，如图矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
（1）求证：BE=BF．
（2）求△ABE的面积．
（3）求折痕EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
∴∠BEF=∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF．

（2）设AE=x，则BE=DE=9-x，
由勾股定理得：x²+3²=（9-x）²，
解得：x=4，
则S_△ABE=(1)/(2)AB•AE=6cm²．

（3）连接BD，交EF于点G，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
则△BDE是等腰三角形，
由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，
∴BG=GD，BD⊥EF，
则点G是矩形ABCD的中心，
所以点G也是EF的中点，
由勾股定理得，BD=3√(10)，BG=(3)/(2)√(10)，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠C=90°，
∵∠DBC=∠DBC，
∴△BGF∽△BCD，
则有GF：CD=BG：CB，
求得GF=(√(10))/(2)，
∴EF=√(10)．