已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，其中c为最长边．（1）若sin2A+sin2B=1，试判断△ABC的形状；（2）若a2-c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b的值．

Question

已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，其中c为最长边．
（1）若sin²A+sin²B=1，试判断△ABC的形状；
（2）若a²-c²=2b，且sinB=4cosAsinC，求b的值．

Answer 1

（1）因为：sin²A+sin²B=1，
而sin²A+cos²A=1；
所以，sin²B=cos²A；
∵c边最长，
∴A，B均为锐角，
故：sinB=cosA=sin（(π)/(2)-A）⇒B=(π)/(2)-A⇒A+B=(π)/(2)．
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵由sinB=4cosAsinC，
∴利用正弦定理可得：b=4ccosA，余弦定理可得：b=(4(b2+c2-a2))/(2bc)×c，化为b²=2（b²+c²-a²），
∵a²-c²=2b，∴b²=2（b²-2b），化为b²-4b=0，
∵b>0，解得b=4．