在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB•cosC，试判断△ABC的形状．

Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB•cosC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

将（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）²-a²=3bc，即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：cosA=(1)/(2)，
∵A为三角形内角，∴A=(π)/(3)，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=(2π)/(3)，
∴A=B=C=(π)/(3)，
则△ABC为等边三角形．