如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，定点CD在第二象限。将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D、C1、O三点在一条直线上，记点D1的坐

Question

如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，定点CD在第二象限。将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B ₁ 、C ₁ 、D ₁ ，且D、C ₁ 、O三点在一条直线上，记点D ₁ 的坐标是（m，n）。
（1）设∠DAD ₁ =30°，n= ，
①求正方形ABCD的边长；
②求直线D ₁ C ₁ 的解析式；
（2）若∠DAD ₁ <90°，m，n满足m+n=-2，点C ₁ 和点O之间的距离是 ，求直线D ₁ C ₁ 的解析式。

Answer 1

（1）①过D ₁ 作D ₁ E⊥x轴于E，
∵∠DAD ₁ =30°，AD∥D ₁ E，
∴∠AD ₁ E=30°，
又n= ，
∴AD ₁ =2，即正方形ABCD的边长为2；
②∵∠DAD ₁ =30°，
∴∠B ₁ AO=30°=∠DAD ₁ =30°，
∴直线D ₁ C ₁ 的解析式为y=-tan30°x，即y=- x；
（2）如图，过C ₁ 作直线GF∥y轴，交D ₁ F于F，其中D ₁ F∥x轴，
∵AD ₁ =D ₁ C ₁ ，∠D ₁ EA=∠D ₁ FC ₁ =90°，∠D ₁ AE=∠D ₁ C ₁ F
∴△D ₁ AE≌△D ₁ C ₁ F
∴D ₁ E= D ₁ F
又m+n=-2，
∴G（-2，0）
而OC ₁ = ，
∴GC ₁ =1①
由△OC ₁ G∽△OD ₁ E
得 ，
即 ，
C ₁ G= ②
联立①、②得： ，
直线D ₁ C ₁ 的解析式为y=- x。